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Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé
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Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé

La robe des léopards, des zèbres et autres poissons clown arbore des motifs complexes. Comment les cellules pigmentaires microscopiques de leur peau (ou chromatophores) s'organisent-elles pour former ces spectaculaires dessins macroscopiques ? En 1952, le mathématicien anglais Alan Turing – le « père » de l'informatique – a donné une explication générale à ce phénomène en proposant un modèle qui décrit comment des réactions entre des molécules qui se diffusent dans un milieu conduisent à la formation de structures comme des zébrures, des taches, etc. Cependant, les motifs « labyrinthiques » visibles sur le dos du lézard ocellé (Timon lepidus), composés d’écailles vertes et noires, ne semblent pas obéir à ces équations. Michel Milinkovitch, biophysicien à l’université de Genève, et son équipe ont montré que le concept d'automate cellulaire, développé par autre mathématicien de génie, John von Neumann, permet de décrire la parure du reptile.

Chez le lézard ocellé, le « pixel » est l’écaille : chacune présente une couleur uniforme. Une particularité du lézard ocellé est que son aspect change au cours de son existence. Lorsqu'il est jeune, ses écailles sont marron et certaines, blanches, se regroupent pour former des taches blanches, les ocelles. Les écailles marron autour de ces ocelles blanches tendent à être plus foncées. Puis, progressivement, alors que le reptile devient adulte, les écailles marron et blanches deviennent vertes, et celles autour des ocelles deviennent noires. Mais le motif continue d’évoluer tout au long de la vie du reptile. Certaines écailles vertes deviennent noires et inversement, au point que le dessin juvénile disparaît au profit d’un motif labyrinthique noir et vert. Ce comportement écaille par écaille ne s’accorde pas avec les équations de réaction-diffusion de Turing. En effet, ces dernières décrivent un comportement continu de cellule à cellule, alors que la peau du lézard a un comportement discret, où l’unité est l’écaille. Michel Milinkovitch et son équipe ont proposé qu’un tel comportement peut être décrit par un « automate cellulaire », un modèle mathématique développé par von Neumann à partir des années 1940.

Un automate cellulaire est formé de « cellules » dans une grille qui peuvent prendre différents états au cours du temps. L’état d’une cellule à la génération suivante est déterminé par son état actuel et par celui de ses voisines. Un des automates cellulaires les plus connus est le « jeu de la vie » du mathématicien John Conway, popularisé par Martin Gardner dans le magazine Scientific American dans les années 1970. Une cellule peut être soit « vivante », soit « morte ». Si une cellule est vivante et qu’elle est entourée de deux ou trois cellules vivantes, elle reste vivante à la génération suivante ; si elle est morte et entourée de trois cellules vivantes, elle renaît au tour suivant. Toutes les autres cellules meurent (d'isolement ou de surpopulation) ou restent mortes. Malgré ces règles très simples, des phénomènes complexes émergent de ce modèle : des oscillations, des structures stables qui se déplacent, des fluctuations chaotiques, etc. Michel Milinkovitch et ses collègues ont suggéré que la dynamique du motif du lézard ocellé suit aussi ce principe, même si, dans ce cas, les cellules de la grille (les écailles) sont hexagonales, et la couleur remplace les états mort ou vivant.

Les chercheurs ont donc observé trois lézards pendant trois à quatre ans en scannant régulièrement leur corps en trois dimensions pour déterminer l’évolution d’environ 5 000 de leurs écailles. Ils ont remarqué que le motif finit par se stabiliser lorsque les écailles vertes sont entourées de quatre écailles noires et deux écailles vertes, tandis que les écailles noires sont entourées de trois vertes et trois noires. La dynamique des changements de couleur leur a permis d’identifier les règles de l’automate cellulaire qui reproduisent ces motifs. Ils ont alors simulé informatiquement ce comportement et obtenu un résultat indifférenciable de ce qu’on observe sur les lézards.

Cependant, à l’échelle microscopique, c’est bien au niveau des cellules pigmentaires de la peau que se jouent les interactions. Comment expliquer qu’une dynamique sous-jacente décrite par les équations continues de Turing donne un comportement mésoscopique discret, écaille par écaille, décrit par les automates cellulaires de von Neumann ? Michel Milinkovitch et ses collègues ont compris que l’épaisseur de la peau sous les écaille joue un rôle important. En effet, la peau est épaisse sous l’écaille, mais très mince à la frontière entre deux écailles, si bien que les interactions entre les cellules sont fortement réduites sur les bords des écailles. Les chercheurs ont introduit cet effet dans les équations de Turing, en réduisant les coefficients de diffusion sur les bords des écailles. Les simulations fondées sur ces nouvelles équations reproduisent un comportement discret avec un changement de couleur à l’échelle de l’écaille.

Un comportement d’automate cellulaire peut donc émerger de la combinaison de la géométrie des écailles (la variation de l’épaisseur de la peau) et du mécanisme de réaction-diffusion de Turing à l’échelle microscopique. Cela suggérait l’existence d’un lien mathématique formel entre les motifs de Turing et ceux des automates cellulaires, des domaines a priori complètement différents. Stanislav Smirnov, Médaille Fields 2010 (l’équivalent du Prix Nobel en mathématiques), s’est alors joint à l’équipe de Michel Milinkovitch. Ils ont démontré l’existence de ce lien formel : une réduction de la diffusion à la bordure des écailles permet de construire un modèle mathématique de Turing modifié où les écailles se comportent comme les éléments d’un automate cellulaire.

Grâce aux résultats de cette étude pluridisciplinaire associant biologie, mathématiques et physique, les chercheurs ont compris l’aspect étonnant du lézard ocellé. Ce résultat s’applique d’ailleurs à de nombreuses autres espèces de lézards et de serpents, mais pas à toutes. Il reste donc à comprendre comment les paramètres varient d’une espèce à une autre pour faire, ou non, émerger un comportement d’automate cellulaire.


Source : Pour la science
Crédit : Shutterstock.com/Omar Alonso Bautista

Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé Actualités

Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé

La robe des léopards, des zèbres et autres poissons clown arbore des motifs complexes. Comment les cellules pigmentaires microscopiques de leur peau (ou chromatophores) s'organisent-elles pour former ces spectaculaires dessins macroscopiques ? En 1952, le mathématicien anglais Alan Turing – le « père » de l'informatique – a donné une explication générale à ce phénomène en proposant un modèle qui décrit comment des réactions entre des molécules qui se diffusent dans un milieu conduisent à la formation de structures comme des zébrures, des taches, etc. Cependant, les motifs « labyrinthiques » visibles sur le dos du lézard ocellé (Timon lepidus), composés d’écailles vertes et noires, ne semblent pas obéir à ces équations. Michel Milinkovitch, biophysicien à l’université de Genève, et son équipe ont montré que le concept d'automate cellulaire, développé par autre mathématicien de génie, John von Neumann, permet de décrire la parure du reptile.

Chez le lézard ocellé, le « pixel » est l’écaille : chacune présente une couleur uniforme. Une particularité du lézard ocellé est que son aspect change au cours de son existence. Lorsqu'il est jeune, ses écailles sont marron et certaines, blanches, se regroupent pour former des taches blanches, les ocelles. Les écailles marron autour de ces ocelles blanches tendent à être plus foncées. Puis, progressivement, alors que le reptile devient adulte, les écailles marron et blanches deviennent vertes, et celles autour des ocelles deviennent noires. Mais le motif continue d’évoluer tout au long de la vie du reptile. Certaines écailles vertes deviennent noires et inversement, au point que le dessin juvénile disparaît au profit d’un motif labyrinthique noir et vert. Ce comportement écaille par écaille ne s’accorde pas avec les équations de réaction-diffusion de Turing. En effet, ces dernières décrivent un comportement continu de cellule à cellule, alors que la peau du lézard a un comportement discret, où l’unité est l’écaille. Michel Milinkovitch et son équipe ont proposé qu’un tel comportement peut être décrit par un « automate cellulaire », un modèle mathématique développé par von Neumann à partir des années 1940.

Un automate cellulaire est formé de « cellules » dans une grille qui peuvent prendre différents états au cours du temps. L’état d’une cellule à la génération suivante est déterminé par son état actuel et par celui de ses voisines. Un des automates cellulaires les plus connus est le « jeu de la vie » du mathématicien John Conway, popularisé par Martin Gardner dans le magazine Scientific American dans les années 1970. Une cellule peut être soit « vivante », soit « morte ». Si une cellule est vivante et qu’elle est entourée de deux ou trois cellules vivantes, elle reste vivante à la génération suivante ; si elle est morte et entourée de trois cellules vivantes, elle renaît au tour suivant. Toutes les autres cellules meurent (d'isolement ou de surpopulation) ou restent mortes. Malgré ces règles très simples, des phénomènes complexes émergent de ce modèle : des oscillations, des structures stables qui se déplacent, des fluctuations chaotiques, etc. Michel Milinkovitch et ses collègues ont suggéré que la dynamique du motif du lézard ocellé suit aussi ce principe, même si, dans ce cas, les cellules de la grille (les écailles) sont hexagonales, et la couleur remplace les états mort ou vivant.

Les chercheurs ont donc observé trois lézards pendant trois à quatre ans en scannant régulièrement leur corps en trois dimensions pour déterminer l’évolution d’environ 5 000 de leurs écailles. Ils ont remarqué que le motif finit par se stabiliser lorsque les écailles vertes sont entourées de quatre écailles noires et deux écailles vertes, tandis que les écailles noires sont entourées de trois vertes et trois noires. La dynamique des changements de couleur leur a permis d’identifier les règles de l’automate cellulaire qui reproduisent ces motifs. Ils ont alors simulé informatiquement ce comportement et obtenu un résultat indifférenciable de ce qu’on observe sur les lézards.

Cependant, à l’échelle microscopique, c’est bien au niveau des cellules pigmentaires de la peau que se jouent les interactions. Comment expliquer qu’une dynamique sous-jacente décrite par les équations continues de Turing donne un comportement mésoscopique discret, écaille par écaille, décrit par les automates cellulaires de von Neumann ? Michel Milinkovitch et ses collègues ont compris que l’épaisseur de la peau sous les écaille joue un rôle important. En effet, la peau est épaisse sous l’écaille, mais très mince à la frontière entre deux écailles, si bien que les interactions entre les cellules sont fortement réduites sur les bords des écailles. Les chercheurs ont introduit cet effet dans les équations de Turing, en réduisant les coefficients de diffusion sur les bords des écailles. Les simulations fondées sur ces nouvelles équations reproduisent un comportement discret avec un changement de couleur à l’échelle de l’écaille.

Un comportement d’automate cellulaire peut donc émerger de la combinaison de la géométrie des écailles (la variation de l’épaisseur de la peau) et du mécanisme de réaction-diffusion de Turing à l’échelle microscopique. Cela suggérait l’existence d’un lien mathématique formel entre les motifs de Turing et ceux des automates cellulaires, des domaines a priori complètement différents. Stanislav Smirnov, Médaille Fields 2010 (l’équivalent du Prix Nobel en mathématiques), s’est alors joint à l’équipe de Michel Milinkovitch. Ils ont démontré l’existence de ce lien formel : une réduction de la diffusion à la bordure des écailles permet de construire un modèle mathématique de Turing modifié où les écailles se comportent comme les éléments d’un automate cellulaire.

Grâce aux résultats de cette étude pluridisciplinaire associant biologie, mathématiques et physique, les chercheurs ont compris l’aspect étonnant du lézard ocellé. Ce résultat s’applique d’ailleurs à de nombreuses autres espèces de lézards et de serpents, mais pas à toutes. Il reste donc à comprendre comment les paramètres varient d’une espèce à une autre pour faire, ou non, émerger un comportement d’automate cellulaire.


Source : Pour la science
Crédit : Shutterstock.com/Omar Alonso Bautista

LE GUIDE Naturellement

Agenda . . .

02 - Aisne

Le 27 septembre

VISITE GUIDEE NOCTURNE

A la tombée de la nuit, l'homme mystère vous conte l'histoire du fort à la lumière de la lanterne.

Fort de Condé
20 ter rue du Bois Morin
02880 Chivres-Val
03 23 54 40 00
www.fortdeconde.com


03 - Allier

Jusqu'au 30 septembre

EXPOSITION
"HALTE AUX ENVAHISSEURS"

Découvrez les espèces exotiques envahissantes installées sur le trrritoire de Montluçon Communauté.
Des conseils sont également donnés pour les identifier et éviter leur propagation.

Maison de la Combraille
Place Pierre Bitard
03420 Marcillat-en-Combraille
04 70 51 10 23
maisondelacombraille.over-blog.com


07 - Ardèche

Jusqu'au 11 octobre

CANOE KAYAK EN ARDECHE

Canoë Kayak 07 propose cette saison des journées découvertes permettant de découvrir cette activité gratuitement.
Les 17 et 24 mai, 7, 14, 21, 28 juin, 5 juillet, 30 aout, 6, 13, 20, 27 septembre et 4, 11 octobre.
Mini-descente du pont d’Arc, 8 km, le matin à 9h à AM à 15h, sur réservation au 04 75 37 17 79 ou par email : charmasson.yves@wanadoo.fr

Canoë Kayak 07
Quartier de Châmes
07150 Vallon Pont d’Arc
04 75 88 03 06
www.canoekayak07.com


09 - Ariège

Le 23 octobre

ANIMATION
"VIENS GOÛTER À LA MAISON" et "PERLES PRÉHISTORIQUES"

De 14h00 à 17h30, à l’aide de silex, d’os, de grès ou encore de cuir, vous découvrirez comment réaliser des éléments de parures en stéatite. Ainsi embellis, vous pourrez déguster un délicieux goûter maison.
Sur inscription. Adulte 8,50 €, enfant 7 €.

Au Pays des Traces
Ferme de Miguet
09190 Saint-Lizier    
05 61 66 47 98
www.paysdestraces.fr


Le 19 octobre

INITIATION AU TRAVAIL MANUEL DU BOIS

De 14h00 à 17h30, venez découvrir le travail manuel du bois tout au long de cette après-midi. Vous fabriquerez une spatule grâce à la plane et au banc à planer (sorte de banc-étau) et peut être d’autres objets en bois du quotidien.
Sur inscription. Adulte 18 €, enfant 15 €.

Au Pays des Traces
Ferme de Miguet
09190 Saint-Lizier    
05 61 66 47 98
www.paysdestraces.fr


18 - Cher

Le 28 septembre

SPECTACLE MUSEUM
"CABINET DE CURIOSITÉS ZOOPOÉTIQUES"

Un spectacle en hommage à la fantaisie des hommes qui produit depuis des siècles des légendes autour des animaux imaginaires !
Par la Cie du Petit Théâtre Dakoté, avec les CDC Pays de Nérondes et des Trois Provinces À partir de 16h30 visite libre de La Tuilerie 18h début du spectacle - 6 € (entrée + spectacle).

La Tuilerie
27 rue du lieutenant Petit
18150 La Guerche-sur-l’Aubois
02 48 74 23 93
www.ciap-latuilerie.fr


Jusqu'au 2 novembre

EXPOSITION
"PORTRAITS DE JARDINS"

Du jardin médiéval, vivrier et médicinal, jusqu’aux jardins ouvriers nourriciers en passant par le jardin ornemental et le jardin sauvage réserve de biodiversité, l’exposition vous propose de parcourir une histoire des jardins intimement liée à celle des Hommes.

La Tuilerie
27 rue du lieutenant Petit
18150 La Guerche-sur-l’Aubois
02 48 74 23 93
www.ciap-latuilerie.fr


21 - Côte d'Or

► Jusqu'au 17 novembre

EXPOSITION
"NATURE INCOGNITO" : la face cachée des villes

Vous me reconnaissez ? Je fais partie des millions d’espèces sauvages, animales ou végétales qui vivent dans les villes, tout près de chez nous et qui, pour la plupart, demeurent « Incognito » !
La nouvelle exposition du Jardin des sciences & Biodiversité vous invite à voir la ville autrement

Le Jardin des Sciences
Parc de l’Arquebuse
1 avenue Albert 1er & 14 rue Jehan de Marville
21000 Dijon
03 80 48 82 00
www.dijon.fr


22 - Côtes d'armor

► Le 22 septembre

JOURNEE DU PATRIMOINE
PLANETARIUM DE BRETAGNE

A 15h, séance "Voyage au coeur du Moyen-âge" : venez découvrir un pan méconnu de l'histoire bretonne au Planétarium de Bretagne.
A 16h, séance "Hubble" : venez découvrir les magnifiques images prise par le télescope spatial Hubble.

Planétarium de Bretagne
Parc du Radôme
22560 Pleumeur-Bodou
02 96 15 80 30
www.planetarium-bretagne.fr


25 - Doubs

Jusqu'au 5 janvier 2020

EXPOSITION
« LE MONDE DE JULES VERNE »

L’exposition présente le créateur et poète, évoque ses voyages extraordinaires d’un nouveau genre littéraire puis explore sa quête de l’ailleurs.
Gravures, affiches de cinéma, maquettes, dessins de reconstitutions des machines de Jules Verne, carte géante représentant les itinéraires des personnages…rythment le parcours de l’exposition.

Saline royale
Grande Rue
25610 Arc et Senans
www.salineroyale.com


Du 15 février au 3 mai 2020

EXPOSITION
« GEORGES FESSY ET LA PHOTOGRAPHIE »

Exposition en coproduction avec le Familistère de Guise. Georges Fessy et la photographie est une rétrospective présentée à travers plus d’une centaine de photographies qui traduit la diversité d’une vie de photographe : paysages, portraits, natures mortes, objets d’art, vues d’architectures.

Saline royale
Grande Rue
25610 Arc et Senans
www.salineroyale.com


26 - Drôme

Jusqu'au 24 septembre

EXPOSITION
Tableaux de l'artiste Brigitte Nêmes

Jardin Zen d’Erik Borja
26600 Beaumont-Monteux
04 75 07 32 27
www.erikborja.fr


34 - Hérault

Jusqu'au 23 février 2020

EXPOSITION
Ensor, Magritte, Alechinsky...

L'exposition invite à un cheminement sensible sur les sentiers de l'art Belge à travers une sélection de chefsd’oeuvre des collections du Musée d'Ixelles (Bruxelles).

Musée de Lodève
square George Auric
34700 Lodève
04 67 88 86 10
www.museedelodeve.fr


39 - Jura

Les 21 et 22 septembre

JOURNÉES EUROPÉENNES DU PATRIMOINE
MUSÉE DE LA LUNETTE

Tout le week-end sur le parvis du Musée : création d'une oeuvre illusion d'optique éphémère par l'artiste Streepainter 3D JM Navallo.

Musée de la Lunette
Place Jean Jaurès
39400 Morez - Hauts de Bienne
03 84 33 39 30
www.musee-lunette.fr


48 - Lozère

Le 24 septembre

VANNERIE

Agnès apportera ses connaissances et son savoir-faire. Les plus courageux pourront s'essayer à la tâche. De 14h30 à 17h.

La Ferme Caussenarde d'Autrefois
Hyelzas, 48150 Hures-La Parade
04 66 45 65 25
www.ferme-caussenarde.com


Jusqu'au 30 octobre

EXPOSITION PHOTOS

Jérôme Lauze propose de découvrir "La Lozère En Toutes Saisons".

La Ferme Caussenarde d'Autrefois
Hyelzas, 48150 Hures-La Parade
04 66 45 65 25
www.ferme-caussenarde.com


50 - Manche

Jusqu'au 5 janvier 2020

EXPOSITION
"DÉTOURS EN COTENTIN"

Il y a sept ans, la famille du photographe Gustave Bazire (1893-1941) découvre 1 400 plaques de verre. Aujourd'hui, le Cotentin expose les vues de l'artiste.

Manoir du Tourp
Omonville-la-Rogue
50440 La Hague  
02 33 01 85 89
www.letourp.com


68 - Haut-Rhin

 ► Jusqu'au 29 septembre

EXPOSITION
"PENNY TOYS, JOUETS CENTENAIRES À QUAT’SOUS"

Une rétrospective inédite à Soultz sur des jouets peu connus du grand public, les penny toys. Ils étaient vendus par des colporteurs dans les foires et marchés du 19e siècle aux années 1950. Bon marché, ces jouets étaient accessibles au plus grand nombre et cachaient souvent, en prime, une friandise, un bonbon…

La Nef des Jouets
12 rue Jean Jaurès
68360 Soultz
03 89 74 30 92
www.ville-soultz.fr


 ► Les 21 et 22 septembre

JOURNÉES EUROPÉENNES DU PATRIMOINE
MUSÉES DE SOULTZ

Nef des Jouets : Exposition "Penny Toys, jouets centenaires à quat’sous". Des jeux géants (morpion, puissance 4, cartes, petits chevaux…) seront mis en place dans les étages.
Bucheneck : Exposition "Les couleurs de l’Alsace" - acryliques de Erika Rosson.
Dans les deux musées : dimanche durant toute l’après-midi, récitals et pièces pianistiques, par Sarah Frick et Sandrine Weidmann et Structures gonflables dans les jardins des musées.

La Nef des Jouets
12 rue Jean Jaurès - 68360 Soulz
03 89 74 30 92
Musée du Bucheneck
Rue Kageneck- 68360 Soulz
03 89 76 02 22


71 - Saône et Loire

Jusqu'au 3 novembre

EXPOSITION
"VU, PAS VU, PAS PRIS …"
Mimétisme et camouflage dans la nature

Manger ou être mangé... la lutte pour la survie dans le monde animal passe par différents stratagèmes. Illustrations, animaux vivants ou naturalisés, tout est mis en œuvre dans l’exposition pour que mimétisme, camouflage, et dissimulation n’aient plus de secret pour vous.

Centre Eden
26 rue de l’Eglise
71290 Cuisery
03 85 27 08 00
www.centre-eden71.fr


78 - Yvelines

Octobre

FÊTE DU GOÛT

Textures, saveurs, odeurs, goûts et parfum seront à l'honneur. Eveillez vos sens en dégustant et en analysant les yaourts de la ferme de Grignon ! Réservée aux 7-12 ans, réservation obligatoire.

Ferme de Grignon - AgroParisTech
Route de la Ferme
01 30 54 37 34
www.fermedegrignon.fr


87 - Haute-Vienne

Les 21 et 22 septembre

JOURNÉES DU PATRIMOINE
LE JARDIN DE LILIANE
Jardin remarquable

Visites guidée à 14h30. Salon de thé, vente de plantes... 5 € - Gratuit jusqu'à 16 ans.

Le Jardin de Liliane
Chateau des Bermondet
87310 Saint-Laurent-sur-Gorre
06 43 89 33 59
http://www.jardindeliliane.com

Lieux:

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