Bienvenue dans un nouveau monde... le notre

Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé
Actualités

Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé

La robe des léopards, des zèbres et autres poissons clown arbore des motifs complexes. Comment les cellules pigmentaires microscopiques de leur peau (ou chromatophores) s'organisent-elles pour former ces spectaculaires dessins macroscopiques ? En 1952, le mathématicien anglais Alan Turing – le « père » de l'informatique – a donné une explication générale à ce phénomène en proposant un modèle qui décrit comment des réactions entre des molécules qui se diffusent dans un milieu conduisent à la formation de structures comme des zébrures, des taches, etc. Cependant, les motifs « labyrinthiques » visibles sur le dos du lézard ocellé (Timon lepidus), composés d’écailles vertes et noires, ne semblent pas obéir à ces équations. Michel Milinkovitch, biophysicien à l’université de Genève, et son équipe ont montré que le concept d'automate cellulaire, développé par autre mathématicien de génie, John von Neumann, permet de décrire la parure du reptile.

Chez le lézard ocellé, le « pixel » est l’écaille : chacune présente une couleur uniforme. Une particularité du lézard ocellé est que son aspect change au cours de son existence. Lorsqu'il est jeune, ses écailles sont marron et certaines, blanches, se regroupent pour former des taches blanches, les ocelles. Les écailles marron autour de ces ocelles blanches tendent à être plus foncées. Puis, progressivement, alors que le reptile devient adulte, les écailles marron et blanches deviennent vertes, et celles autour des ocelles deviennent noires. Mais le motif continue d’évoluer tout au long de la vie du reptile. Certaines écailles vertes deviennent noires et inversement, au point que le dessin juvénile disparaît au profit d’un motif labyrinthique noir et vert. Ce comportement écaille par écaille ne s’accorde pas avec les équations de réaction-diffusion de Turing. En effet, ces dernières décrivent un comportement continu de cellule à cellule, alors que la peau du lézard a un comportement discret, où l’unité est l’écaille. Michel Milinkovitch et son équipe ont proposé qu’un tel comportement peut être décrit par un « automate cellulaire », un modèle mathématique développé par von Neumann à partir des années 1940.

Un automate cellulaire est formé de « cellules » dans une grille qui peuvent prendre différents états au cours du temps. L’état d’une cellule à la génération suivante est déterminé par son état actuel et par celui de ses voisines. Un des automates cellulaires les plus connus est le « jeu de la vie » du mathématicien John Conway, popularisé par Martin Gardner dans le magazine Scientific American dans les années 1970. Une cellule peut être soit « vivante », soit « morte ». Si une cellule est vivante et qu’elle est entourée de deux ou trois cellules vivantes, elle reste vivante à la génération suivante ; si elle est morte et entourée de trois cellules vivantes, elle renaît au tour suivant. Toutes les autres cellules meurent (d'isolement ou de surpopulation) ou restent mortes. Malgré ces règles très simples, des phénomènes complexes émergent de ce modèle : des oscillations, des structures stables qui se déplacent, des fluctuations chaotiques, etc. Michel Milinkovitch et ses collègues ont suggéré que la dynamique du motif du lézard ocellé suit aussi ce principe, même si, dans ce cas, les cellules de la grille (les écailles) sont hexagonales, et la couleur remplace les états mort ou vivant.

Les chercheurs ont donc observé trois lézards pendant trois à quatre ans en scannant régulièrement leur corps en trois dimensions pour déterminer l’évolution d’environ 5 000 de leurs écailles. Ils ont remarqué que le motif finit par se stabiliser lorsque les écailles vertes sont entourées de quatre écailles noires et deux écailles vertes, tandis que les écailles noires sont entourées de trois vertes et trois noires. La dynamique des changements de couleur leur a permis d’identifier les règles de l’automate cellulaire qui reproduisent ces motifs. Ils ont alors simulé informatiquement ce comportement et obtenu un résultat indifférenciable de ce qu’on observe sur les lézards.

Cependant, à l’échelle microscopique, c’est bien au niveau des cellules pigmentaires de la peau que se jouent les interactions. Comment expliquer qu’une dynamique sous-jacente décrite par les équations continues de Turing donne un comportement mésoscopique discret, écaille par écaille, décrit par les automates cellulaires de von Neumann ? Michel Milinkovitch et ses collègues ont compris que l’épaisseur de la peau sous les écaille joue un rôle important. En effet, la peau est épaisse sous l’écaille, mais très mince à la frontière entre deux écailles, si bien que les interactions entre les cellules sont fortement réduites sur les bords des écailles. Les chercheurs ont introduit cet effet dans les équations de Turing, en réduisant les coefficients de diffusion sur les bords des écailles. Les simulations fondées sur ces nouvelles équations reproduisent un comportement discret avec un changement de couleur à l’échelle de l’écaille.

Un comportement d’automate cellulaire peut donc émerger de la combinaison de la géométrie des écailles (la variation de l’épaisseur de la peau) et du mécanisme de réaction-diffusion de Turing à l’échelle microscopique. Cela suggérait l’existence d’un lien mathématique formel entre les motifs de Turing et ceux des automates cellulaires, des domaines a priori complètement différents. Stanislav Smirnov, Médaille Fields 2010 (l’équivalent du Prix Nobel en mathématiques), s’est alors joint à l’équipe de Michel Milinkovitch. Ils ont démontré l’existence de ce lien formel : une réduction de la diffusion à la bordure des écailles permet de construire un modèle mathématique de Turing modifié où les écailles se comportent comme les éléments d’un automate cellulaire.

Grâce aux résultats de cette étude pluridisciplinaire associant biologie, mathématiques et physique, les chercheurs ont compris l’aspect étonnant du lézard ocellé. Ce résultat s’applique d’ailleurs à de nombreuses autres espèces de lézards et de serpents, mais pas à toutes. Il reste donc à comprendre comment les paramètres varient d’une espèce à une autre pour faire, ou non, émerger un comportement d’automate cellulaire.


Source : Pour la science
Crédit : Shutterstock.com/Omar Alonso Bautista

Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé Actualités

Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé

La robe des léopards, des zèbres et autres poissons clown arbore des motifs complexes. Comment les cellules pigmentaires microscopiques de leur peau (ou chromatophores) s'organisent-elles pour former ces spectaculaires dessins macroscopiques ? En 1952, le mathématicien anglais Alan Turing – le « père » de l'informatique – a donné une explication générale à ce phénomène en proposant un modèle qui décrit comment des réactions entre des molécules qui se diffusent dans un milieu conduisent à la formation de structures comme des zébrures, des taches, etc. Cependant, les motifs « labyrinthiques » visibles sur le dos du lézard ocellé (Timon lepidus), composés d’écailles vertes et noires, ne semblent pas obéir à ces équations. Michel Milinkovitch, biophysicien à l’université de Genève, et son équipe ont montré que le concept d'automate cellulaire, développé par autre mathématicien de génie, John von Neumann, permet de décrire la parure du reptile.

Chez le lézard ocellé, le « pixel » est l’écaille : chacune présente une couleur uniforme. Une particularité du lézard ocellé est que son aspect change au cours de son existence. Lorsqu'il est jeune, ses écailles sont marron et certaines, blanches, se regroupent pour former des taches blanches, les ocelles. Les écailles marron autour de ces ocelles blanches tendent à être plus foncées. Puis, progressivement, alors que le reptile devient adulte, les écailles marron et blanches deviennent vertes, et celles autour des ocelles deviennent noires. Mais le motif continue d’évoluer tout au long de la vie du reptile. Certaines écailles vertes deviennent noires et inversement, au point que le dessin juvénile disparaît au profit d’un motif labyrinthique noir et vert. Ce comportement écaille par écaille ne s’accorde pas avec les équations de réaction-diffusion de Turing. En effet, ces dernières décrivent un comportement continu de cellule à cellule, alors que la peau du lézard a un comportement discret, où l’unité est l’écaille. Michel Milinkovitch et son équipe ont proposé qu’un tel comportement peut être décrit par un « automate cellulaire », un modèle mathématique développé par von Neumann à partir des années 1940.

Un automate cellulaire est formé de « cellules » dans une grille qui peuvent prendre différents états au cours du temps. L’état d’une cellule à la génération suivante est déterminé par son état actuel et par celui de ses voisines. Un des automates cellulaires les plus connus est le « jeu de la vie » du mathématicien John Conway, popularisé par Martin Gardner dans le magazine Scientific American dans les années 1970. Une cellule peut être soit « vivante », soit « morte ». Si une cellule est vivante et qu’elle est entourée de deux ou trois cellules vivantes, elle reste vivante à la génération suivante ; si elle est morte et entourée de trois cellules vivantes, elle renaît au tour suivant. Toutes les autres cellules meurent (d'isolement ou de surpopulation) ou restent mortes. Malgré ces règles très simples, des phénomènes complexes émergent de ce modèle : des oscillations, des structures stables qui se déplacent, des fluctuations chaotiques, etc. Michel Milinkovitch et ses collègues ont suggéré que la dynamique du motif du lézard ocellé suit aussi ce principe, même si, dans ce cas, les cellules de la grille (les écailles) sont hexagonales, et la couleur remplace les états mort ou vivant.

Les chercheurs ont donc observé trois lézards pendant trois à quatre ans en scannant régulièrement leur corps en trois dimensions pour déterminer l’évolution d’environ 5 000 de leurs écailles. Ils ont remarqué que le motif finit par se stabiliser lorsque les écailles vertes sont entourées de quatre écailles noires et deux écailles vertes, tandis que les écailles noires sont entourées de trois vertes et trois noires. La dynamique des changements de couleur leur a permis d’identifier les règles de l’automate cellulaire qui reproduisent ces motifs. Ils ont alors simulé informatiquement ce comportement et obtenu un résultat indifférenciable de ce qu’on observe sur les lézards.

Cependant, à l’échelle microscopique, c’est bien au niveau des cellules pigmentaires de la peau que se jouent les interactions. Comment expliquer qu’une dynamique sous-jacente décrite par les équations continues de Turing donne un comportement mésoscopique discret, écaille par écaille, décrit par les automates cellulaires de von Neumann ? Michel Milinkovitch et ses collègues ont compris que l’épaisseur de la peau sous les écaille joue un rôle important. En effet, la peau est épaisse sous l’écaille, mais très mince à la frontière entre deux écailles, si bien que les interactions entre les cellules sont fortement réduites sur les bords des écailles. Les chercheurs ont introduit cet effet dans les équations de Turing, en réduisant les coefficients de diffusion sur les bords des écailles. Les simulations fondées sur ces nouvelles équations reproduisent un comportement discret avec un changement de couleur à l’échelle de l’écaille.

Un comportement d’automate cellulaire peut donc émerger de la combinaison de la géométrie des écailles (la variation de l’épaisseur de la peau) et du mécanisme de réaction-diffusion de Turing à l’échelle microscopique. Cela suggérait l’existence d’un lien mathématique formel entre les motifs de Turing et ceux des automates cellulaires, des domaines a priori complètement différents. Stanislav Smirnov, Médaille Fields 2010 (l’équivalent du Prix Nobel en mathématiques), s’est alors joint à l’équipe de Michel Milinkovitch. Ils ont démontré l’existence de ce lien formel : une réduction de la diffusion à la bordure des écailles permet de construire un modèle mathématique de Turing modifié où les écailles se comportent comme les éléments d’un automate cellulaire.

Grâce aux résultats de cette étude pluridisciplinaire associant biologie, mathématiques et physique, les chercheurs ont compris l’aspect étonnant du lézard ocellé. Ce résultat s’applique d’ailleurs à de nombreuses autres espèces de lézards et de serpents, mais pas à toutes. Il reste donc à comprendre comment les paramètres varient d’une espèce à une autre pour faire, ou non, émerger un comportement d’automate cellulaire.


Source : Pour la science
Crédit : Shutterstock.com/Omar Alonso Bautista

LE GUIDE Naturellement

Agenda . . .

01 - Ain

Du 30  août au 13 septembre

CONCERTS
"LES MUSICALES DU PARC DES OISEAUX"

Des artistes engagés en faveur de la protection de l’environnement et des musiciens de légende viendront fêter les 50 ans du Parc des Oiseaux.
Paul Personne - Zazie - Paolo Comte - Daniel Guichard - Vitaa & Slimane - The Dire Straits Expérience - Ibrahim Maalouf - Maxime Le Forestier - Yannick Noah - Louis Bertignac - Gauvin Sers - La Rue Ketanou.

Parc des Oiseaux
01330 Villars Les Dombes
04 74 98 05 54
www.parcdesoiseaux.com


09 - Ariège

Le 8 avril

BALADE
"SUR LA TRACE DES TRACES…"

Nous vous proposons une petite balade sur les hauteurs de Saint-Lizier. Nous partirons ensemble à la recherche de traces et d’indices de présence de chevreuils, sangliers et autres habitants des environs. Pour clore la promenade, nous prendrons un bon goûter maison dans ce joli cadre. Sur réservation.

Au Pays des Traces
Ferme de Miguet
09190 Saint-Lizier    
05 61 66 47 98
www.paysdestraces.fr


13 - Bouches du Rhône

Du 11 au 19 juin

BALADES EN MER
CONGRÈS MONDIAL DE LA NATURE DE L’UICN

Lors de ce rendez vous, des balades en mer à bord de l'Hélios, la seule vedette à passagers hybride de la compagnie Marseillaise ICARD MARITME, seront organisées par : Le parc National de la Côte Bleue : 10 juin - Le conservatoire du littoral : 11 & 16 juin - Le parc National des Calanques : 15 & 20 juin.

1 quai Marcel Pagnol
13007 Marseille
04 91 330 329
www.iucncongress2020


22 - Côtes d'Armor

Le 13 mars

CONFÉRENCE & SORTIE NATURE
"26ÈME NUIT DE LA GRENOUILLE"

Après une présentation dans la salle pédagogique du château, on enfile ses bottes et on sort du château pour 1h d'écoute et de découverte des batraciens. Les habitués pensent à prendre une lampe de poche et des vêtements adaptés à la météo… Gratuit, sur réservation.

Château de la Hunaudaye
22270 Plédéliac
02 96 34 82 10
www.la-hunaudaye.com


Du 15 décembre au 15 mars

EXPOSITION
"FRONDAISONS"
La fabrique d’un maquis de l’Argoat

Le pôle de l'Étang-Neuf présente l'oeuvre de Sophie Zénon, "Frondaisons", la fabrique de l'image d'un maquis de l'Argoat, une exposition de photographies et de vidéos.

Pôle de l'Étang-Neuf
22480 Saint-Connan
02 96 47 17 66
www.etangneufbretagne.com


25 - Doubs

Du 15 février au 3 mai 2020

EXPOSITION
"GEORGES FESSY ET LA PHOTOGRAPHIE"

Exposition en coproduction avec le Familistère de Guise. Georges Fessy et la photographie est une rétrospective présentée à travers plus d’une centaine de photographies qui traduit la diversité d’une vie de photographe : paysages, portraits, natures mortes, objets d’art, vues d’architectures.

Saline royale
Grande Rue
25610 Arc et Senans
www.salineroyale.com


30 - Gard

Jusqu'au 8 mars

EXPOSITION
« FEU », l’expo brûlante de la rentrée au Pont du Gard

FEU conçue par Universcience qui propose d’explorer la thématique de la maîtrise du feu par l’humain. Accessible dès 9 ans, cette exposition rassemble des installations audiovisuelles, des dispositifs multimédia et des expériences interactives ainsi que de nombreux objets visant à enrichir la connaissance des visiteurs et à déconstruire les idées reçues.

Site du Pont du Gard
La Bégude
400 route du Pont du Gard
30210 Vers-Pont-du-Gard
04 66 37 50 99
www.pontdugard.fr


34 - Hérault

Jusqu'au 23 février

EXPOSITION
"Ensor, Magritte, Alechinsky..."

L'exposition invite à un cheminement sensible sur les sentiers de l'art Belge à travers une sélection de chefsd’oeuvre des collections du Musée d'Ixelles (Bruxelles).

Musée de Lodève
square George Auric
34700 Lodève
04 67 88 86 10
www.museedelodeve.fr


39 - Jura

Du 20 janvier au 2 avril

ATELIERS
"L’ŒIL ET LA MAIN"

Le Musée de la Lunette organise  une visite de l’exposition temporaire « Les lunettes en voient de toutes les couleurs ». Les enfants découvriront l’utilisation de la couleur en lunetterie, ses principes et surtout son design inspirant ! Ils participeront par la suite à un atelier artistique animé par l’une de nos artistes plasticiennes. Cet atelier est à destination des scolaires, de la maternelle au collège.

Musée de la Lunette
Place Jean Jaurès
39400 Morez - Hauts de Bienne
03 84 33 39 30
www.musee-lunette.fr


50 - Manche

Du 8 février au 24 mai

EXPOSITION DE PHOTOGRAPHIES
"LA HAGUE : A L’EPREUVE DU TEMPS"

De vallées encaissées en roches mystérieuses, du littoral déchiqueté aux champs quadrillés de murets, le regard d’Antoine Soubigou s’est posé sur une Hague intemporelle et tourmentée.

Manoir du Tourp
Omonville-la-Rogue
50440 La Hague  
02 33 01 85 89
www.letourp.com


Du 4 avril au 1er novembre

EXPOSITION PHOTOGRAPHIQUE
"VIE SAUVAGE EN COTENTIN"

Une exposition pour les curieux de nature mais aussi pour les amateurs de belles images... L’association "Regards" basée à Cormelles-le-Royal dans le Calvados rassemble des photographes naturalistes, passionnés d’image et de nature.

Manoir du Tourp
Omonville-la-Rogue
50440 La Hague  
02 33 01 85 89
www.letourp.com


63 - Puy-de-Dôme

Janvier et février

"CLASSE NEIGE A PETITS PRIX"

Au Centre des Volcans propose un passeport Évasion Glacée à petits prix pour les derniers créneaux disponibles en janvier et février 2020.Venez découvrir les volcans sous la neige...

Au Centre des Volcans
Rue du Frère Genestier
63230 Pontgibaud
04 73 68 18 18 / 06 21 30 79 36
www.au-centre-des-volcans.fr


De janvier à mars

SEJOURS SCOLAIRES
"LES 4 ÉLÉMENTS" et "L'AUVERGNE DES NEIGES"

Des tarifs imbattables sur les séjours scolaires pour les mois de janvier, février et mars 2020 ! Séjours à réserver rapidement.

.Au Centre des Volcans
Rue du Frère Genestier
63230 Pontgibaud
04 73 68 18 18 / 06 21 30 79 36
www.au-centre-des-volcans.fr


68 - Haut-Rhin

Le 8 mars

22ÈME SALON OURS ET POUPÉES

Le musée rouvrira ses portes le dimanche 8 mars avec le 22ème Salon Ours & Poupée qui aura lieu à la M.A.B. de Soultz, avec un atelier de fabrication « Chapeaux et sacs poupées en feutre laine », une exposition sur les poupées Raynal ainsi que sur les poupées américaines des années 1930 à nos jours.

La Nef des Jouets
12 rue Jean Jaurès
68360 Soultz
03 89 74 30 92
www.ville-soultz.fr


76 - Seine maritime

Les 25 et 26 avril

SALON INTERNATIONAL DE LA LAINE

Accueillant plus de 40 exposants internationaux, ce salon est une première en Normandie. Fils, patrons, kits, échanges, de quoi mettre en valeur le travail artisanal, explorer les savoir-faire.

Château de Miromesnil
76550 Tourville-sur-Arques
02 35 85 02 80
www.chateaumiromesnil.com


78 - Yvelines

Du 10 au 21 Février

"HOLI'FARM'DAYS DE LA FERME DE GRIGNON"

Atelier Créatif pour les 3-8 ans : les Petites Bêtes : Découpage, collage, peinture et coloriage pour fabriquer de drôles de petites bêtes. Réservation obligatoire.
Enquêtes fermières pour les 3-10 ans : A travers des énigmes spécialement conçues pour découvrir les petites bêtes au grand rôle, aidez Etincelle et Timéon à résoudre leurs problèmes ! Sans réservation.

Ferme de Grignon - AgroParisTech
78850 Thiverval-Grignon
01 30 54 37 34
www.fermedegrignon.fr


88 - Vosges

Du 21 au 23 février

SALON DES ANTIQUAIRES ET DE LA BROCANTE VOSGIENNE

35ème salon des antiquaires au Centre des Congrès à Épinal. 70 exposants venant de toute la France seront présents à cette occasion, venez chiner la lampe qui manque à votre salon !

Office de Tourisme
6 place Saint-Goëry
88000 Epinal
03 29 82 53 32
www.tourisme-epinal.com

Lieux:

Découvrir toutes les activités