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Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé
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Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé

La robe des léopards, des zèbres et autres poissons clown arbore des motifs complexes. Comment les cellules pigmentaires microscopiques de leur peau (ou chromatophores) s'organisent-elles pour former ces spectaculaires dessins macroscopiques ? En 1952, le mathématicien anglais Alan Turing – le « père » de l'informatique – a donné une explication générale à ce phénomène en proposant un modèle qui décrit comment des réactions entre des molécules qui se diffusent dans un milieu conduisent à la formation de structures comme des zébrures, des taches, etc. Cependant, les motifs « labyrinthiques » visibles sur le dos du lézard ocellé (Timon lepidus), composés d’écailles vertes et noires, ne semblent pas obéir à ces équations. Michel Milinkovitch, biophysicien à l’université de Genève, et son équipe ont montré que le concept d'automate cellulaire, développé par autre mathématicien de génie, John von Neumann, permet de décrire la parure du reptile.

Chez le lézard ocellé, le « pixel » est l’écaille : chacune présente une couleur uniforme. Une particularité du lézard ocellé est que son aspect change au cours de son existence. Lorsqu'il est jeune, ses écailles sont marron et certaines, blanches, se regroupent pour former des taches blanches, les ocelles. Les écailles marron autour de ces ocelles blanches tendent à être plus foncées. Puis, progressivement, alors que le reptile devient adulte, les écailles marron et blanches deviennent vertes, et celles autour des ocelles deviennent noires. Mais le motif continue d’évoluer tout au long de la vie du reptile. Certaines écailles vertes deviennent noires et inversement, au point que le dessin juvénile disparaît au profit d’un motif labyrinthique noir et vert. Ce comportement écaille par écaille ne s’accorde pas avec les équations de réaction-diffusion de Turing. En effet, ces dernières décrivent un comportement continu de cellule à cellule, alors que la peau du lézard a un comportement discret, où l’unité est l’écaille. Michel Milinkovitch et son équipe ont proposé qu’un tel comportement peut être décrit par un « automate cellulaire », un modèle mathématique développé par von Neumann à partir des années 1940.

Un automate cellulaire est formé de « cellules » dans une grille qui peuvent prendre différents états au cours du temps. L’état d’une cellule à la génération suivante est déterminé par son état actuel et par celui de ses voisines. Un des automates cellulaires les plus connus est le « jeu de la vie » du mathématicien John Conway, popularisé par Martin Gardner dans le magazine Scientific American dans les années 1970. Une cellule peut être soit « vivante », soit « morte ». Si une cellule est vivante et qu’elle est entourée de deux ou trois cellules vivantes, elle reste vivante à la génération suivante ; si elle est morte et entourée de trois cellules vivantes, elle renaît au tour suivant. Toutes les autres cellules meurent (d'isolement ou de surpopulation) ou restent mortes. Malgré ces règles très simples, des phénomènes complexes émergent de ce modèle : des oscillations, des structures stables qui se déplacent, des fluctuations chaotiques, etc. Michel Milinkovitch et ses collègues ont suggéré que la dynamique du motif du lézard ocellé suit aussi ce principe, même si, dans ce cas, les cellules de la grille (les écailles) sont hexagonales, et la couleur remplace les états mort ou vivant.

Les chercheurs ont donc observé trois lézards pendant trois à quatre ans en scannant régulièrement leur corps en trois dimensions pour déterminer l’évolution d’environ 5 000 de leurs écailles. Ils ont remarqué que le motif finit par se stabiliser lorsque les écailles vertes sont entourées de quatre écailles noires et deux écailles vertes, tandis que les écailles noires sont entourées de trois vertes et trois noires. La dynamique des changements de couleur leur a permis d’identifier les règles de l’automate cellulaire qui reproduisent ces motifs. Ils ont alors simulé informatiquement ce comportement et obtenu un résultat indifférenciable de ce qu’on observe sur les lézards.

Cependant, à l’échelle microscopique, c’est bien au niveau des cellules pigmentaires de la peau que se jouent les interactions. Comment expliquer qu’une dynamique sous-jacente décrite par les équations continues de Turing donne un comportement mésoscopique discret, écaille par écaille, décrit par les automates cellulaires de von Neumann ? Michel Milinkovitch et ses collègues ont compris que l’épaisseur de la peau sous les écaille joue un rôle important. En effet, la peau est épaisse sous l’écaille, mais très mince à la frontière entre deux écailles, si bien que les interactions entre les cellules sont fortement réduites sur les bords des écailles. Les chercheurs ont introduit cet effet dans les équations de Turing, en réduisant les coefficients de diffusion sur les bords des écailles. Les simulations fondées sur ces nouvelles équations reproduisent un comportement discret avec un changement de couleur à l’échelle de l’écaille.

Un comportement d’automate cellulaire peut donc émerger de la combinaison de la géométrie des écailles (la variation de l’épaisseur de la peau) et du mécanisme de réaction-diffusion de Turing à l’échelle microscopique. Cela suggérait l’existence d’un lien mathématique formel entre les motifs de Turing et ceux des automates cellulaires, des domaines a priori complètement différents. Stanislav Smirnov, Médaille Fields 2010 (l’équivalent du Prix Nobel en mathématiques), s’est alors joint à l’équipe de Michel Milinkovitch. Ils ont démontré l’existence de ce lien formel : une réduction de la diffusion à la bordure des écailles permet de construire un modèle mathématique de Turing modifié où les écailles se comportent comme les éléments d’un automate cellulaire.

Grâce aux résultats de cette étude pluridisciplinaire associant biologie, mathématiques et physique, les chercheurs ont compris l’aspect étonnant du lézard ocellé. Ce résultat s’applique d’ailleurs à de nombreuses autres espèces de lézards et de serpents, mais pas à toutes. Il reste donc à comprendre comment les paramètres varient d’une espèce à une autre pour faire, ou non, émerger un comportement d’automate cellulaire.


Source : Pour la science
Crédit : Shutterstock.com/Omar Alonso Bautista

Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé Actualités

Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé

La robe des léopards, des zèbres et autres poissons clown arbore des motifs complexes. Comment les cellules pigmentaires microscopiques de leur peau (ou chromatophores) s'organisent-elles pour former ces spectaculaires dessins macroscopiques ? En 1952, le mathématicien anglais Alan Turing – le « père » de l'informatique – a donné une explication générale à ce phénomène en proposant un modèle qui décrit comment des réactions entre des molécules qui se diffusent dans un milieu conduisent à la formation de structures comme des zébrures, des taches, etc. Cependant, les motifs « labyrinthiques » visibles sur le dos du lézard ocellé (Timon lepidus), composés d’écailles vertes et noires, ne semblent pas obéir à ces équations. Michel Milinkovitch, biophysicien à l’université de Genève, et son équipe ont montré que le concept d'automate cellulaire, développé par autre mathématicien de génie, John von Neumann, permet de décrire la parure du reptile.

Chez le lézard ocellé, le « pixel » est l’écaille : chacune présente une couleur uniforme. Une particularité du lézard ocellé est que son aspect change au cours de son existence. Lorsqu'il est jeune, ses écailles sont marron et certaines, blanches, se regroupent pour former des taches blanches, les ocelles. Les écailles marron autour de ces ocelles blanches tendent à être plus foncées. Puis, progressivement, alors que le reptile devient adulte, les écailles marron et blanches deviennent vertes, et celles autour des ocelles deviennent noires. Mais le motif continue d’évoluer tout au long de la vie du reptile. Certaines écailles vertes deviennent noires et inversement, au point que le dessin juvénile disparaît au profit d’un motif labyrinthique noir et vert. Ce comportement écaille par écaille ne s’accorde pas avec les équations de réaction-diffusion de Turing. En effet, ces dernières décrivent un comportement continu de cellule à cellule, alors que la peau du lézard a un comportement discret, où l’unité est l’écaille. Michel Milinkovitch et son équipe ont proposé qu’un tel comportement peut être décrit par un « automate cellulaire », un modèle mathématique développé par von Neumann à partir des années 1940.

Un automate cellulaire est formé de « cellules » dans une grille qui peuvent prendre différents états au cours du temps. L’état d’une cellule à la génération suivante est déterminé par son état actuel et par celui de ses voisines. Un des automates cellulaires les plus connus est le « jeu de la vie » du mathématicien John Conway, popularisé par Martin Gardner dans le magazine Scientific American dans les années 1970. Une cellule peut être soit « vivante », soit « morte ». Si une cellule est vivante et qu’elle est entourée de deux ou trois cellules vivantes, elle reste vivante à la génération suivante ; si elle est morte et entourée de trois cellules vivantes, elle renaît au tour suivant. Toutes les autres cellules meurent (d'isolement ou de surpopulation) ou restent mortes. Malgré ces règles très simples, des phénomènes complexes émergent de ce modèle : des oscillations, des structures stables qui se déplacent, des fluctuations chaotiques, etc. Michel Milinkovitch et ses collègues ont suggéré que la dynamique du motif du lézard ocellé suit aussi ce principe, même si, dans ce cas, les cellules de la grille (les écailles) sont hexagonales, et la couleur remplace les états mort ou vivant.

Les chercheurs ont donc observé trois lézards pendant trois à quatre ans en scannant régulièrement leur corps en trois dimensions pour déterminer l’évolution d’environ 5 000 de leurs écailles. Ils ont remarqué que le motif finit par se stabiliser lorsque les écailles vertes sont entourées de quatre écailles noires et deux écailles vertes, tandis que les écailles noires sont entourées de trois vertes et trois noires. La dynamique des changements de couleur leur a permis d’identifier les règles de l’automate cellulaire qui reproduisent ces motifs. Ils ont alors simulé informatiquement ce comportement et obtenu un résultat indifférenciable de ce qu’on observe sur les lézards.

Cependant, à l’échelle microscopique, c’est bien au niveau des cellules pigmentaires de la peau que se jouent les interactions. Comment expliquer qu’une dynamique sous-jacente décrite par les équations continues de Turing donne un comportement mésoscopique discret, écaille par écaille, décrit par les automates cellulaires de von Neumann ? Michel Milinkovitch et ses collègues ont compris que l’épaisseur de la peau sous les écaille joue un rôle important. En effet, la peau est épaisse sous l’écaille, mais très mince à la frontière entre deux écailles, si bien que les interactions entre les cellules sont fortement réduites sur les bords des écailles. Les chercheurs ont introduit cet effet dans les équations de Turing, en réduisant les coefficients de diffusion sur les bords des écailles. Les simulations fondées sur ces nouvelles équations reproduisent un comportement discret avec un changement de couleur à l’échelle de l’écaille.

Un comportement d’automate cellulaire peut donc émerger de la combinaison de la géométrie des écailles (la variation de l’épaisseur de la peau) et du mécanisme de réaction-diffusion de Turing à l’échelle microscopique. Cela suggérait l’existence d’un lien mathématique formel entre les motifs de Turing et ceux des automates cellulaires, des domaines a priori complètement différents. Stanislav Smirnov, Médaille Fields 2010 (l’équivalent du Prix Nobel en mathématiques), s’est alors joint à l’équipe de Michel Milinkovitch. Ils ont démontré l’existence de ce lien formel : une réduction de la diffusion à la bordure des écailles permet de construire un modèle mathématique de Turing modifié où les écailles se comportent comme les éléments d’un automate cellulaire.

Grâce aux résultats de cette étude pluridisciplinaire associant biologie, mathématiques et physique, les chercheurs ont compris l’aspect étonnant du lézard ocellé. Ce résultat s’applique d’ailleurs à de nombreuses autres espèces de lézards et de serpents, mais pas à toutes. Il reste donc à comprendre comment les paramètres varient d’une espèce à une autre pour faire, ou non, émerger un comportement d’automate cellulaire.


Source : Pour la science
Crédit : Shutterstock.com/Omar Alonso Bautista

LE GUIDE Naturellement

Agenda . . .

01 - Ain

► En mars
"LAND ART SCOLAIRE"

A partir de 2 ans, le parc des Jardins Aquatiques invite les écoles à découvrir le land art en créant des œuvres artistiques en plein air. De la création d’un palette de couleur à un pictionary nature, en passant par le "land art libre". Tous les jeudis de 10h à 12h ou de 14h à 16h.

Les Jardins Aquatiques
Moulin des Vernes
01140 Saint-Didier-sur-Chalaronne 
04 74 04 03 09 
http://parc.lesjardinsaquatiques.fr


04 - Alpes-de-Haute-Provence

► Jusqu'au 9 mars 

CENTRE ASTRO 
ANIMATIONS ASTRONOMIE

Le Centre Astro vous accueille pendant les vacances scolaires pour découvrir l'astronomie ! Du 27 février au 9 mars (sauf le lundi), vous pourrez venir observer le soleil ou les étoiles, découvrir nos spectacles de planétarium et visiter l'Observatoire de Haute-Provence. Une programmation riche et variée pour occuper vos vacances ! 

Centre d’Astronomie
Plateau du moulin à vent
04 870 Saint-Michel l’Observatoire
04 92 76 69 69 / 07 56 43 19 30
www.centre-astro.com


11 - Aude

► Le 17 mars

MUSÉE NARBO VIA
"ATELIER MOSAÏQUE"

Accompagné par un médiateur du musée, vous appréhendez la technique de réalisation d’un mosaïque avec des tesselles en terre cuite. En binôme adulte-enfant, vous pourrez assembler des tesselles et créer votre propre mosaïque en vous inspirant des décors de la maison romaine.

Musée Narbo Via
2 avenue André Mècle
11100 Narbonne
04 68 90 28 90
https://narbovia.fr


► Le 30 mars

MUSÉE NARBO VIA
"ATELIER "PORTRAIT EN TERRE"

Durant la visite (30 min), le médiateur aborde la notion de portrait et fait découvrir aux visiteurs les différentes manières dont les Romains se représentaient (en buste, debout, de face, de profil…) sur des supports variés. Après la visite, les participants réalisent un buste en argile en atelier (30 min).

Musée Narbo Via
2 avenue André Mècle
11100 Narbonne
04 68 90 28 90
https://narbovia.fr


12 - Aveyron

► Du 5 avril 2024 au 2 novembre 2025

EXPOSITION  
"LA VILLE MÉDIÉVALE, UN JEU D'ENFANT"

Parcourez la nouvelle exposition du Pays d'art et d'histoire à la découverte des trois formes urbaines du Moyen Âge : la sauveté, le bourg castral et la bastide. Cette exposition ludique et immersive, adaptée à tous les âges, vous fera remonter le temps en vous glissant dans la peau d'un moine, d'un chevalier ou d'un marchand. 

Maison du Gouverneur
1 rue du château
12270 Najac
05 65 81 94 47
https://maisondugouverneur-najac.fr


► Les 10 avril & 30 octobre

ATELIER EN FAMILLE ET JEUNE PUBLIC
"RECYCLAGE ASTUCIEUX ET PAPIER MÂCHÉ"

En peu de temps et tout autant d'imagination, à partir d'emballages, de contenants plastiques et autres déchets à recycler, vous pourrez créer le personnage de votre choix, inspiré du Moyen Âge ou pas, bâtir un royaume ou donner vie à un animal. 

Maison du Gouverneur
1 rue du château
12270 Najac
05 65 81 94 47
https://maisondugouverneur-najac.fr


33 - Gironde

► Jusqu'au 24 septembre 

EXPOSITION 
"RECYCL'ART"

Marques et Emballages, développement durable et valorisation par le tri. Cette exposition sans cesse enrichie met en valeur l’histoire des grandes marques françaises à travers des objets, des affiches et des documents historiques. Ces emballages amènent également à réveiller la mémoire du passé industriel de la Papeterie de Beautiran.

Musée des Techniques
5 rue de Balambits
33640 Beautiran
05 57 97 75 11
www.villamaglya.fr


38 - Isère

► Jusqu'au 31 mars 

EXPOSITION
"AUDACE ET RENOUVEAU"

Le 28 juin 1953, l’église de Saint-Hugues en Chartreuse après une totale transformation. Inaugurée par l’évêque de Grenoble, elle consacre l’audace d’un jeune peintre inspiré, Jean-Marie Pirot-Arcabas et s’inscrit dans le courant du renouveau de l’art sacré. L’exposition restitue l’ambiance de l’époque avec des photos et des documents, des dessins préparatoires et des lithographies originales.

Musée arcabas en Chartreuse
Eglise de Saint-Hugues
38380 Saint-Pierre-de-Chartreuse
04 76 88 65 01
https://musees.isere.fr


42 - Loire

► Jusqu'au 22 septembre

EXPOSITION 
"INDONÉSIE RÉVÉLÉE"

Région d’une grande complexité culturelle, le pays se compose de 1100 de groupes ethniques différents.
Les collections ramenées par Daniel Pouget de ses voyages, notamment des îles de Bornéo, Sumatra et Sulawesi, nous dévoilent l’extraordinaire richesse des traditions et cultures des îles d’Indonésie.  

Musée des Civilisations Daniel Pouget
Place Madeleine Rousseau
42170 Saint-Just-Saint-Rambert
04 77 52 03 11
musee@stjust-strambert.com


► Jusqu'au 29 septembre 

EXPOSITION
"L'ART DES AFFICHISTES"

Après un premier volet d’octobre 2022 à février 2023 sur l’art des affichistes de cinéma de 1930 à 1960… voici un second volet consacré à la période 1960-2023.

Ecomusée des Monts du Forez
Place Alex Folléas 
42550 Usson en Forez 
04 77 50 68 87 
www.ecomusee-usson-en-forez.fr


52 - Haute-Marne

► Jusqu'au 17 mars 

EXPOSITION
"BOUCLES TEMPORELLES" 

Photographies de Charles Paulicevich, sur une idée et des textes d’Henri-Pierre Jeudy. Visites guidées de l’exposition à 15h30, le 24 janvier et 13 mars. Gratuit, sans réservation. 
Du mercredi au dimanche, de 13h30 à17h30 / Entrée libre et gratuite.

Musée de Saint-Dizier
17 rue de la Victoire 
52100 Saint-Dizier
03 25 07 31 50
www.saint-dizier.fr


62 - Pas-de-Calais

► Du 9 au 27 mars

EXPOSITION 
"LE SALON DE LA FLEUR"

Le Musée municipal Bruno Danvin accueille une exposition collective où plusieurs artistes présentent des œuvres sur tout type de support sur le thème de la fleur. Les mercredis, samedis et dimanches de 14h30 à 17h30. Entrée gratuite. Visites de groupes sur rdv les lundis, mardis et jeudis.

Musée municipal Bruno Danvin
Rue Oscar Ricque
62130 Saint-Pol-sur-Ternoise
03 21 04 56 25 / 07 89 08 15 64 
www.saintpolsurternoise.fr


63 - Puy de Dôme

► Du 12 mars au 5 mai

EXPOSITION    
"GUÉRIN INTIME, GUÉRIN ILLUSTRE"

À l’occasion du 250e anniversaire de la naissance du peintre néoclassique Pierre-Narcisse Guérin (1774-1833), le musée Mandet présentera un ensemble inédit d’œuvres et d’objets personnels de l’artiste né d’une famille d’origine auvergnate. L’occasion de célébrer et de remettre en lumière ce peintre, maître de Géricault et de Delacroix !

 Musée Mandet
14 rue de L'Hôtel de Ville
63200 Riom
04 73 38 17 31
musee.mandet@rlv.eu


67 - Bas-Rhin

► Jusqu’au 10 mars 

EXPOSITION
"UN AMOUR 2 LALIQUE"

Cette exposition est l’occasion de jouer autour du chiffre 2 avec les créations Lalique, au travers d’objets ou de photographies.

Musée Lalique
40 rue du Hochberg
67290 Wingen-sur-Moder
03 88 89 08 14
www.musee-lalique.com


► Du 15 mars au 7 avril 

EXPOSITION 
"LALIQUE EN GRAND" 

Depuis plus de 100 ans, des oeuvres sont créées au sein de la manufacture Lalique grâce à des savoir-faire d’exception. Une exposition de photographies en grand format (120x180cm) réalisées par Karine Faby, devenue un des Meilleurs ouvriers de France en 2023. Elles permettent de découvrir ce qui se passe à l’intérieur de la cristallerie qui ne se visite pas.

Musée Lalique
40 rue du Hochberg
67290 Wingen-sur-Moder
03 88 89 08 14
www.musee-lalique.com


70 - Haute-Saône

► Du 15 avril au 15 novembre 

EXPOSITION
"JE MANGE, DONC JE SUIS" 

L'Écomusée présente une exposition intitulée conçue par le musée de l’Homme, un site du Muséum national d’Histoire naturelle. Elle aborde un sujet ô combien important : l’alimentation, pour découvrir ses aspects biologiques, culturels et écologiques. 

Ecomusée du Pays de la Cerise
206 Le Petit Fahys
70220 Fougerolles-Saint-Valbert
03 84 49 52 50
http://ecomusee-fougerolles.fr


71 - Saône et Loire

► Jusqu'au 24 décembre

EXPOSITION
"LE CHAROLAIS, UN PAYSAGE DE BOCAGE"

Installée au dernier étage de la Maison du Charolais, cette exposition retrace l'histoire du bocage charolais, sa composition, son rôle et les enjeux de sa préservation pour la faune et la flore, ainsi que pour les habitants de ce beau territoire rural.

La Maison du Charolais
43 route de Mâcon (RCEA N79 sortie 12)
71120 Charolles
03 85 88 04 00
www.maison-charolais.com


76 - Seine-Maritime

► Jusqu'au 14 avril

EXPOSITION
"HIVER 54"

Exposition temporaire sur l’histoire de la mobilisation de l’Hiver 1954 à l’occasion du 70e anniversaire. Tarif : 6€/4€.

Centre abbé Pierre – Emmaüs
Route d’Emmaüs
76690 Esteville
02 35 23 87 76
www.centre-abbe-pierre-emmaus.org


80 - Somme

► Jusqu’au 29 mars 

EXPOSITION
"GRAFF&GUERRE"

Du graff au pochoir en passant par le collage, la sculpture oule dessin, venez contempler les œuvres d’une trentaine d’artistes de l’art graphique urbain comme un témoignage collectif sur les deux conflits mondiaux. 

Historial de la Grande Guerre
Musée Péronne
Place André Audinot 
80200 Péronne
03 22 83 14 18
www.historial.fr


84 - Vaucluse

► Jusqu'au 31 mars

EXPOSITION 
"NOTRE-DAME DE PARIS"

La Saline royale propose un voyage immersif à travers 850 ans d'histoire de Notre-Dame. Tablette HistoPad en main, petits et grands franchissent les portes du temps pour revivre l’extraordinaire épopée de l'illustre cathédrale, des bâtisseurs du Moyen-Âge au sacre de Napoléon, de l'incendie au chantier actuel de sa restauration.

Saline royale
Grande Rue
25610 Arc et Senans
03 81 54 45 13
www.salineroyale.com


► Jusqu'au 31 mai 

EXPOSITION
"OCEAN"

L’océan est un vaste monde qui ne cesse de nous fasciner et qu’il convient de comprendre, d’étudier, de préserver et d’admirer. Cette exposition présente quatre artistes qui contribuent, par leurs approches artistiques, à cette réflexion et cette prise de conscience.
les photographes Rachael Talibart et Henley Spiers, les graveurs Hélène Baumel et Jean Chièze.

Château de Lourmarin
2 avenue Laurent Vibert
84160 Lourmarin
04 90 68 15 23
www.chateaudelourmarin.com


► Le 14 avril

CONCERT-DÉCOUVERTE 
"ON L'APPELAIT LA CALLAS"

De sa voix pure et profonde, la soprano Aurélie Jarjaye interprète les airs d'opéras au répertoire de la plus célèbre cantatrice du siècle, tandis que le pianiste Etienne Kippelen ponctue le récital d'anecdotes sur sa vie, de lettres et de réflexions sur son existence.
Tarifs : plein tarif : 18 € // adhérent.e.s : 12 € // moins de 25 ans : 8 €.

Château de Lourmarin
2 avenue Laurent Vibert
84160 Lourmarin
04 90 68 15 23
www.chateaudelourmarin.com


► Du 4 mai au 9 mars 2025

EXPOSITION 
"À L'AFFÛT"

À travers son art, le photographe animalier et grand voyageur, exprime ses rêves, ses émotions et ses rencontres en captant l'instant, celui de l’animal au cœur de son environnement. 

Saline royale
Grande Rue
25610 Arc et Senans
03 81 54 45 13
www.salineroyale.com

Lieux:

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