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Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé
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Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé

La robe des léopards, des zèbres et autres poissons clown arbore des motifs complexes. Comment les cellules pigmentaires microscopiques de leur peau (ou chromatophores) s'organisent-elles pour former ces spectaculaires dessins macroscopiques ? En 1952, le mathématicien anglais Alan Turing – le « père » de l'informatique – a donné une explication générale à ce phénomène en proposant un modèle qui décrit comment des réactions entre des molécules qui se diffusent dans un milieu conduisent à la formation de structures comme des zébrures, des taches, etc. Cependant, les motifs « labyrinthiques » visibles sur le dos du lézard ocellé (Timon lepidus), composés d’écailles vertes et noires, ne semblent pas obéir à ces équations. Michel Milinkovitch, biophysicien à l’université de Genève, et son équipe ont montré que le concept d'automate cellulaire, développé par autre mathématicien de génie, John von Neumann, permet de décrire la parure du reptile.

Chez le lézard ocellé, le « pixel » est l’écaille : chacune présente une couleur uniforme. Une particularité du lézard ocellé est que son aspect change au cours de son existence. Lorsqu'il est jeune, ses écailles sont marron et certaines, blanches, se regroupent pour former des taches blanches, les ocelles. Les écailles marron autour de ces ocelles blanches tendent à être plus foncées. Puis, progressivement, alors que le reptile devient adulte, les écailles marron et blanches deviennent vertes, et celles autour des ocelles deviennent noires. Mais le motif continue d’évoluer tout au long de la vie du reptile. Certaines écailles vertes deviennent noires et inversement, au point que le dessin juvénile disparaît au profit d’un motif labyrinthique noir et vert. Ce comportement écaille par écaille ne s’accorde pas avec les équations de réaction-diffusion de Turing. En effet, ces dernières décrivent un comportement continu de cellule à cellule, alors que la peau du lézard a un comportement discret, où l’unité est l’écaille. Michel Milinkovitch et son équipe ont proposé qu’un tel comportement peut être décrit par un « automate cellulaire », un modèle mathématique développé par von Neumann à partir des années 1940.

Un automate cellulaire est formé de « cellules » dans une grille qui peuvent prendre différents états au cours du temps. L’état d’une cellule à la génération suivante est déterminé par son état actuel et par celui de ses voisines. Un des automates cellulaires les plus connus est le « jeu de la vie » du mathématicien John Conway, popularisé par Martin Gardner dans le magazine Scientific American dans les années 1970. Une cellule peut être soit « vivante », soit « morte ». Si une cellule est vivante et qu’elle est entourée de deux ou trois cellules vivantes, elle reste vivante à la génération suivante ; si elle est morte et entourée de trois cellules vivantes, elle renaît au tour suivant. Toutes les autres cellules meurent (d'isolement ou de surpopulation) ou restent mortes. Malgré ces règles très simples, des phénomènes complexes émergent de ce modèle : des oscillations, des structures stables qui se déplacent, des fluctuations chaotiques, etc. Michel Milinkovitch et ses collègues ont suggéré que la dynamique du motif du lézard ocellé suit aussi ce principe, même si, dans ce cas, les cellules de la grille (les écailles) sont hexagonales, et la couleur remplace les états mort ou vivant.

Les chercheurs ont donc observé trois lézards pendant trois à quatre ans en scannant régulièrement leur corps en trois dimensions pour déterminer l’évolution d’environ 5 000 de leurs écailles. Ils ont remarqué que le motif finit par se stabiliser lorsque les écailles vertes sont entourées de quatre écailles noires et deux écailles vertes, tandis que les écailles noires sont entourées de trois vertes et trois noires. La dynamique des changements de couleur leur a permis d’identifier les règles de l’automate cellulaire qui reproduisent ces motifs. Ils ont alors simulé informatiquement ce comportement et obtenu un résultat indifférenciable de ce qu’on observe sur les lézards.

Cependant, à l’échelle microscopique, c’est bien au niveau des cellules pigmentaires de la peau que se jouent les interactions. Comment expliquer qu’une dynamique sous-jacente décrite par les équations continues de Turing donne un comportement mésoscopique discret, écaille par écaille, décrit par les automates cellulaires de von Neumann ? Michel Milinkovitch et ses collègues ont compris que l’épaisseur de la peau sous les écaille joue un rôle important. En effet, la peau est épaisse sous l’écaille, mais très mince à la frontière entre deux écailles, si bien que les interactions entre les cellules sont fortement réduites sur les bords des écailles. Les chercheurs ont introduit cet effet dans les équations de Turing, en réduisant les coefficients de diffusion sur les bords des écailles. Les simulations fondées sur ces nouvelles équations reproduisent un comportement discret avec un changement de couleur à l’échelle de l’écaille.

Un comportement d’automate cellulaire peut donc émerger de la combinaison de la géométrie des écailles (la variation de l’épaisseur de la peau) et du mécanisme de réaction-diffusion de Turing à l’échelle microscopique. Cela suggérait l’existence d’un lien mathématique formel entre les motifs de Turing et ceux des automates cellulaires, des domaines a priori complètement différents. Stanislav Smirnov, Médaille Fields 2010 (l’équivalent du Prix Nobel en mathématiques), s’est alors joint à l’équipe de Michel Milinkovitch. Ils ont démontré l’existence de ce lien formel : une réduction de la diffusion à la bordure des écailles permet de construire un modèle mathématique de Turing modifié où les écailles se comportent comme les éléments d’un automate cellulaire.

Grâce aux résultats de cette étude pluridisciplinaire associant biologie, mathématiques et physique, les chercheurs ont compris l’aspect étonnant du lézard ocellé. Ce résultat s’applique d’ailleurs à de nombreuses autres espèces de lézards et de serpents, mais pas à toutes. Il reste donc à comprendre comment les paramètres varient d’une espèce à une autre pour faire, ou non, émerger un comportement d’automate cellulaire.


Source : Pour la science
Crédit : Shutterstock.com/Omar Alonso Bautista

Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé Actualités

Comment les mathématiques décrivent les motifs du lézard ocellé

La robe des léopards, des zèbres et autres poissons clown arbore des motifs complexes. Comment les cellules pigmentaires microscopiques de leur peau (ou chromatophores) s'organisent-elles pour former ces spectaculaires dessins macroscopiques ? En 1952, le mathématicien anglais Alan Turing – le « père » de l'informatique – a donné une explication générale à ce phénomène en proposant un modèle qui décrit comment des réactions entre des molécules qui se diffusent dans un milieu conduisent à la formation de structures comme des zébrures, des taches, etc. Cependant, les motifs « labyrinthiques » visibles sur le dos du lézard ocellé (Timon lepidus), composés d’écailles vertes et noires, ne semblent pas obéir à ces équations. Michel Milinkovitch, biophysicien à l’université de Genève, et son équipe ont montré que le concept d'automate cellulaire, développé par autre mathématicien de génie, John von Neumann, permet de décrire la parure du reptile.

Chez le lézard ocellé, le « pixel » est l’écaille : chacune présente une couleur uniforme. Une particularité du lézard ocellé est que son aspect change au cours de son existence. Lorsqu'il est jeune, ses écailles sont marron et certaines, blanches, se regroupent pour former des taches blanches, les ocelles. Les écailles marron autour de ces ocelles blanches tendent à être plus foncées. Puis, progressivement, alors que le reptile devient adulte, les écailles marron et blanches deviennent vertes, et celles autour des ocelles deviennent noires. Mais le motif continue d’évoluer tout au long de la vie du reptile. Certaines écailles vertes deviennent noires et inversement, au point que le dessin juvénile disparaît au profit d’un motif labyrinthique noir et vert. Ce comportement écaille par écaille ne s’accorde pas avec les équations de réaction-diffusion de Turing. En effet, ces dernières décrivent un comportement continu de cellule à cellule, alors que la peau du lézard a un comportement discret, où l’unité est l’écaille. Michel Milinkovitch et son équipe ont proposé qu’un tel comportement peut être décrit par un « automate cellulaire », un modèle mathématique développé par von Neumann à partir des années 1940.

Un automate cellulaire est formé de « cellules » dans une grille qui peuvent prendre différents états au cours du temps. L’état d’une cellule à la génération suivante est déterminé par son état actuel et par celui de ses voisines. Un des automates cellulaires les plus connus est le « jeu de la vie » du mathématicien John Conway, popularisé par Martin Gardner dans le magazine Scientific American dans les années 1970. Une cellule peut être soit « vivante », soit « morte ». Si une cellule est vivante et qu’elle est entourée de deux ou trois cellules vivantes, elle reste vivante à la génération suivante ; si elle est morte et entourée de trois cellules vivantes, elle renaît au tour suivant. Toutes les autres cellules meurent (d'isolement ou de surpopulation) ou restent mortes. Malgré ces règles très simples, des phénomènes complexes émergent de ce modèle : des oscillations, des structures stables qui se déplacent, des fluctuations chaotiques, etc. Michel Milinkovitch et ses collègues ont suggéré que la dynamique du motif du lézard ocellé suit aussi ce principe, même si, dans ce cas, les cellules de la grille (les écailles) sont hexagonales, et la couleur remplace les états mort ou vivant.

Les chercheurs ont donc observé trois lézards pendant trois à quatre ans en scannant régulièrement leur corps en trois dimensions pour déterminer l’évolution d’environ 5 000 de leurs écailles. Ils ont remarqué que le motif finit par se stabiliser lorsque les écailles vertes sont entourées de quatre écailles noires et deux écailles vertes, tandis que les écailles noires sont entourées de trois vertes et trois noires. La dynamique des changements de couleur leur a permis d’identifier les règles de l’automate cellulaire qui reproduisent ces motifs. Ils ont alors simulé informatiquement ce comportement et obtenu un résultat indifférenciable de ce qu’on observe sur les lézards.

Cependant, à l’échelle microscopique, c’est bien au niveau des cellules pigmentaires de la peau que se jouent les interactions. Comment expliquer qu’une dynamique sous-jacente décrite par les équations continues de Turing donne un comportement mésoscopique discret, écaille par écaille, décrit par les automates cellulaires de von Neumann ? Michel Milinkovitch et ses collègues ont compris que l’épaisseur de la peau sous les écaille joue un rôle important. En effet, la peau est épaisse sous l’écaille, mais très mince à la frontière entre deux écailles, si bien que les interactions entre les cellules sont fortement réduites sur les bords des écailles. Les chercheurs ont introduit cet effet dans les équations de Turing, en réduisant les coefficients de diffusion sur les bords des écailles. Les simulations fondées sur ces nouvelles équations reproduisent un comportement discret avec un changement de couleur à l’échelle de l’écaille.

Un comportement d’automate cellulaire peut donc émerger de la combinaison de la géométrie des écailles (la variation de l’épaisseur de la peau) et du mécanisme de réaction-diffusion de Turing à l’échelle microscopique. Cela suggérait l’existence d’un lien mathématique formel entre les motifs de Turing et ceux des automates cellulaires, des domaines a priori complètement différents. Stanislav Smirnov, Médaille Fields 2010 (l’équivalent du Prix Nobel en mathématiques), s’est alors joint à l’équipe de Michel Milinkovitch. Ils ont démontré l’existence de ce lien formel : une réduction de la diffusion à la bordure des écailles permet de construire un modèle mathématique de Turing modifié où les écailles se comportent comme les éléments d’un automate cellulaire.

Grâce aux résultats de cette étude pluridisciplinaire associant biologie, mathématiques et physique, les chercheurs ont compris l’aspect étonnant du lézard ocellé. Ce résultat s’applique d’ailleurs à de nombreuses autres espèces de lézards et de serpents, mais pas à toutes. Il reste donc à comprendre comment les paramètres varient d’une espèce à une autre pour faire, ou non, émerger un comportement d’automate cellulaire.


Source : Pour la science
Crédit : Shutterstock.com/Omar Alonso Bautista

LE GUIDE Naturellement

Agenda . . .

25 - Doubs

►Du 1er mai au 14 février 2027

EXPOSITION 
"MYSTIFICATION" - ARCHITECTURE ET CINÉMA, LA QUÊTE DE L’ILLUSION

À une époque où les frontières entre le réel et la fiction sont brouillées, l’architecture et le cinéma se rencontrent pour vous inviter à une expérience visuelle immersive à travers l’art de l’illusion.

Saline royale
Grande Rue
25610 Arc et Senans
03 81 54 45 13
www.salineroyale.com

►Du 7 juin au 18 octobre 

FESTIVAL DES JARDINS
"LES INSECTES : LE MONDE DE LA MÉTAMORPHOSE"

Dans les nouveaux jardins du Festival, découvrez un monde visible et fascinant : la beauté des papillons, la mécanique des lucarnes, la cruauté de l’élégante mante religieuse, le vol imposant de l’abeille charpentière ou encore les libellules d’un autre temps…

Saline royale
Grande Rue
25610 Arc et Senans
03 81 54 45 13
www.salineroyale.com

31 - Haute-Garonne

►Le 26 avril

"VISITE COCKPITS"
AILES ANCIENNES TOULOUSE

Pour cette 1ère édition 2026 de la célèbre et attendue « Journée Cockpit », notre association a choisi de mettre à l’honneur l’aviation et la moto. Seront présents, avec leurs magnifiques machines, les membres des associations "Blagnac Moto Rétro", "French Army Vets", "Capitole Gentlemen Motorcycle". Participeront aussi nos amis du Peloton motorisé de la Gendarmerie Nationale.

Ailes Anciennes Toulouse
Parking Site Aéroscopia
Allée André Turcat
31700 Blagnac
05 62 13 78 10
www.aatlse.org

37 - Indre-et-Loire

►Les 8 & 9 mai et 20 juin 

VISITE GUIDÉE 
"LA TOURMENTE DE LA SECONDE GUERRE MONDIALE"

À l’occasion de la commémoration de l’armistice du 8 mai 1945, et de la bataille d’Amboise, le château royal d’Amboise vous propose une visite guidée consacrée à son Histoire durant le second conflit mondial. Notre collègue Camille, guide-conférencière passionnée par cette période, évoquera avec vous les épisodes connus par l’édifice entre 1939 et 1945, images d’archives et anecdotes à l’appui.

Château royal d’Amboise
Montée de l’Emir Abd el Kader
37400 Amboise
02 47 57 00 98
www.chateau-amboise.com

38 - Isère

►Jusqu'au 29 mars 2027

EXPOSITION
"LES FORMES DE L'EAU"

Présente dans la nature sous des formes multiples, l’eau constitue une source d’inspiration inépuisable pour les artistes. Dans l’œuvre d’Arcabas, à travers une quinzaine d’œuvres mêlant motifs figuratifs et abstraits, la beauté des phénomènes naturels se révèle et les émotions suscitées par les multiples métamorphoses de l’eau sont suggérées avec finesse. 

Musée arcabas en Chartreuse
Eglise de Saint-Hugues
38380 Saint-Pierre-de-Chartreuse
04 76 88 65 01
https://musees.isere.fr

42 - Loire

►Le 14 avril

ATELIERS VACANCES 
"CRÉATION D'ATTRAPE-RÊVES"

Dans la tradition amérindienne, les attrape-rêves servent à éloigner les cauchemars et rendre nos nuits plus paisibles. Apprends à réaliser ton propre attrape-rêves à partir de chutes textiles et de décorations sur le thème de Pâques ! Dès 3 ans. Réservation obligatoire. Tarif unique : 5 € par personne.

Musée du tissage et de la soierie
125 Place Vaucanson
42510 Bussières
04 77 27 33 95 
www.museedutissage.com

►Jusqu'au 15 novembre

EXPOSITION
"REMAILLER - LA MÉMOIRE VIVE DU TEXTILE EN ROANNAIS"

Conçue par Elodie Guyot, photographe passionnée originaire de St-Jodard, cette exposition rend hommage aux anciennes ouvrières en bonneterie roannaise. Leurs portraits se croisent avec ceux des élèves en filière Métiers de la mode du Lycée Carnot à Roanne. Focus aussi sur l'une des dernières entreprises de tricotage roannaise : Henitex Bel Maille. 

Musée du tissage et de la soierie
125 Place Vaucanson
42510 Bussières
04 77 27 33 95 
www.museedutissage.com

52 - Haute-Marne

►Jusqu'au 19 avril 

EXPOSITION 
"175 ANS DE CRÉATION BRASSICOLEÀ SAINT-DIZIER"

La brasserie du fort carré a été un des fleurons économiques de Saint-Dizier. En activité de 1796 à 1955, elle marqué le paysage urbain de la ville, et est à l’origine de la construction de la Tour Miko. Des techniques de productions de la bière, au nombreux objets publicitaires, l’exposition retracera l’histoire d’une brasserie restée dans les mémoires.

Musée de Saint-Dizier
17 rue de la Victoire 
52100 Saint-Dizier
03 25 07 31 50
www.saint-dizier.fr

57 - Moselle

►Jusqu'au 28 septembre

EXPOSITION
"FRANÇOIS MORELLET"

Inaugurant le centenaire de la naissance de François Morellet (1926-2016), le Centre Pompidou-Metz présente une rétrospective en 100 œuvres allant de 1941 à 2016, la plus complète jamais réalisée à ce jour.

Centre Pompidou-Metz
1 parvis des Droits-de-l'Homme 
57000 Metz 
03 87 15 17 17
www.centrepompidou-metz.fr

59 - Nord

►Jusqu'au 20 août

EXPOSITION
"VAISSEAU TERRE"

Conçue, réalisée et présentée par la Cité de l’espace à Toulouse, cette exposition porte un regard renouvelé sur la Terre. Grâce à la richesse de ses contenus, elle présente les dernières découvertes à la croisée des sciences naturelles, physiques et humaines.

Forum des Sciences
1 place François Mitterrand
59650 Villeneuve d'Ascq
03 59 73 96 00
https://forumdepartementaldessciences.fr

►Jusqu'au 17 janvier 2027

EXPOSITION
"CROQUE COULEURS"

Des couleurs qui jouent un rôle dans la façon de se comporter, de s’exprimer, de vivre en société. Et si l’on prenait le temps de les observer et de les explorer. Grâce à un parcours interactif, ludique et sensoriel, les enfants expérimentent les phénomènes de perception des couleurs et jouent avec leurs symboliques.

Forum des Sciences
1 place François Mitterrand
59650 Villeneuve d'Ascq
03 59 73 96 00
https://forumdepartementaldessciences.fr

65 - Hautes-Pyrénées

►Du 18 avril au 3 mai

ANIMATIONS 
"LA PEINTURE AU PALÉOLITHIQUE"

Quels pigments naturels ont servi à réaliser les mains négatives ? Quels outils sont utilisés pour dessiner sur les parois ? Les animateurs présentent les techniques de la peinture préhistorique.
Et petit + : Repartez avec l’empreinte de votre/vos mains.

Grottes préhistoriques de Gargas & Nestploria
81 route de Gargas
65660 Aventignan
05 62 98 81 50
https://grottesdegargas.fr

67 - Bas-Rhin

►Jusqu'au 17 mai

EXPOSITION DES PHOTOGRAPHIES DE KARINE FABY
"MOSSI : UN VASE, DES SAVOIR-FAIRE"

Cette année, le choix a été fait de se concentrer sur les différentes étapes de fabrication d’un objet emblématique, le vase Mossi, dont le modèle a été créé par René Lalique en 1933. Depuis le travail sur le moule jusqu’à la signature finale, vous retrouverez toutes les étapes au travers de 20 photographies réalisées par Karine Faby.

Musée Lalique
40 rue du Hochberg
67290 Wingen-sur-Moder
03 88 89 08 14
www.musee-lalique.com

68 - Haut-Rhin

►Jusqu'au 28 juin

EXPOSITION 
"JOUSTRA, DES JOUETS MADE IN ALSACE"

Contraction de "JOUets de STRAsbourg", Joustra a produit de nombreux jouets avec un pic de popularité dans les années 1950 et 1960. Grâce à la collection d’un passionné bas-rhinois, Claude Schwach, venez découvrir tous types de jouets : jouets mécaniques, jouets téléguidés puis radiocommandés, voitures, grues, engins de chantier, bateaux, jeux scientifiques puis plus tard le célèbre télécran...

La Nef des Jouets
12 rue Jean Jaurès
68360 Soultz
03 89 74 30 92
www.ville-soultz.fr

71 - Saône-et-Loire

►Le 15 avril

ATELIER CUISINE
"LE HAMBURGER DU PRINTEMPS"

En avril, nous déclinons l'incontournable recette du hamburger avec un pain vert et des ingrédients de saison, coloré et pleins de saveurs !
À partir de 4 ans. 10,30 € / personne. Pensez à réserver ! Nombre de places limité.

La Maison du Charolais
43 route de Mâcon 
71120 Charolles
03 85 88 04 00
www.maison-charolais.com

74 - Haute-Savoie

►Jusqu'au 18 avril

ATELIERS ET ANIMATIONS VACANCES
MUSÉE DE PRÉHISTOIRE ET GÉOLOGIE

Au cœur de ces deux semaines d’animations : des ateliers variés pour découvrir la Préhistoire autrement (fouilles archéologiques, art pariétal, poterie, chasse, taille du silex…) et un Escape Game permettant de (re)découvrir le musée de manière inédite. Un stage est également proposé pour les enfants de 7 à 12 ans afin de s’initier à l’art préhistorique.

Musée de Préhistoire et Géologie
207 route du Moulin de la Glacière
74140 Sciez-sur-Léman
04 50 72 60 53
www.musee-prehistoire-sciez.com

75 - Paris

►Jusqu'au 10 janvier 2027

ZEUS, LE CHEVAL MÉTALLIQUE AU MUAM

Le musée accueille sur son parvis le cheval métallique Zeus, œuvre monumentale qui a marqué les esprits lors de la cérémonie d’ouverture des Jeux Olympiques et Paralympiques de Paris 2024.
Jusqu'au 29 mars 2026, dans le chœur de l’église Saint-Martin-des-Champs du MuAM, une exposition exceptionnelle intitulée "Zeus, chef-d’œuvre d’artisans" retrace la genèse et la fabrication de cette œuvre.

Musée des Arts et Métiers
60 rue Réaumur
75003 Paris
01 53 01 82 63
www.arts-et-metiers.net

►Jusqu'au 13 décembre

EXPOSITION
CHAÏM KALISKI - "JIM D’ETTERBEEK"

Double graphique de l’artiste, Jim d’Etterbeek est le titre d’une monumentale œuvre dessinée sur l’Occupation à Bruxelles, constituée de plus de cinq mille dessins de Chaïm-Charles Kaliski (1929-2015), être singulier dont l’existence fut à jamais marquée par la Shoah.

Musée d’art et d’histoire du Judaïsme
71 rue du Temple
75001 Paris
01 53 01 86 53
www.mahj.org

►Jusqu'au 17 mai 

EXPOSITION "FLOPS" 

Échec, bide, raté, fiasco… on estime que neuf innovations sur dix échouent et les raisons de la galère ne sont pas toujours évidentes ! En explorant les "bides" comme les trajectoires de réussites inattendues, l’exposition Flops-?! propose une lecture bienveillante de l’échec et ouvre la voie à une découverte singulière des collections du MuAM – Musée des Arts et Métiers.  

Musée des Arts et Métiers
60 rue Réaumur
75003 Paris
01 53 01 82 63
www.arts-et-metiers.net

►Jusqu'au 31 juillet 

EXPOSITION
"L’ÉTOFFE DES RÊVES"

Le vent de l’Art Brut et du surréalisme soufflera sur les 300 œuvres des 36 artistes réunis dans tout l’espace de la Halle Saint Pierre. "L’Étoffe des rêves" est le fruit d’une collaboration entre la Halle Saint Pierre et le Centre international du surréalisme et de la Citoyenneté mondiale à Saint-Cirq-Lapopie.

Halle Saint Pierre
2 rue Ronsard
75018 Paris
01 42 58 72 89
www.hallesaintpierre.org

84 - Vaucluse

►Du 20 avril au 31 mars 2027

EXPOSITION 
"UN SIÈCLE D’ART AU CHÂTEAU DE LOURMARIN"

Depuis les années 1920, plus de 600 artistes et musiciens ont séjourné en résidence à Lourmarin. À travers peintures, gravures, sculptures et photographies de 30 artistes, cette exposition retrace un siècle de création et d’inspiration au château, en mettant en lumière la diversité des courants artistiques du XXè et du début du XXIè siècle.

Château de Lourmarin
2 avenue Laurent Vibert
84160 Lourmarin
04 90 68 15 23
www.chateaudelourmarin.com

Lieux:
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